Incompleto

In Collaboration with Adam Cooper-Terán and René López

This project is about generating a space to tell the story of two of the most important mathematical events in the 20th century. The first, is Kurt Gödel’s Incompleteness proof and the second one is Alain Turing’s Halting problem. These two proofs are relevant because they show the limits of formal systems (e.g., the computer), and allow to sense the immeasurability of the infinite. Some short stories from Jorge Luis Borges deal with some of the principles of these two proofs. Therefore, some of his stories will be used as a basis for many of the artworks. The present project is not only an attempt to explain and visualize the proofs but seeks present them within a historical and social context.

While this project is still in progress, here are some parts of it.

In this animated video we present an adaptation of the story Manuscrito Encontrado en un Bolsillo (Maunscript Foound in a Pocket) de Julio Cortazar. We played with the idea that Alain Turing used a logical system to find romantic love within the London subway. So he will use random number cards to predict a head of time where his potential lovers will change stations, if they changed stations according to the cards, he will follow and approach them, if not, he would have to let them go.

This piece presents an audio of David Hilbert from 1930 in which he is persuasive about the importance of mathematics. In another text, I explain a part of Hilbert’s agenda. That is, to built a foundation for mathematics based on formal systems. This dream was truncated because of the Incompleteness theorem and the Turing’s Halting Problem.

Textos Presentados:

Sobre la Equivocación de Hilbert
David Hilbert, líder matemático justo antes de la segunda guerra mundial e inspirado en el sueño de Gottfried Leibniz de construir una máquina formal que pudiera solucionar cualquier problema a partir de la matemática, pide entre otras cosas lo siguiente:  (1) formalizar las matemáticas a partir de axiomas, los cuales deberían de ser consistentes y finitos (Zach, 2009) y (2) encontrar un algoritmo que pueda definir de antemano si un problema tiene solución o no.

La imposibilidad del primer requerimiento  aparece en 1931 cuando Kurt Gödel presenta su Teorema de Incompletitud en el cual demuestra que “no existe una lista razonable de axiomas a partir de los cuales poder demostrar todas las afirmaciones verdaderas en la teoría de números” (Immerman, 2011). Esto implica la imposibilidad de construir un sistema formal que pueda fundamentar la aritmética.

La imposibilidad del segundo requerimiento ocurre cuando Alan Turing imagina una máquina completamente mecánica que funciona a partir de un sistema formal y se encuentra con el Halting Problem. Al intentar que una máquina resuelva un problema, nunca podremos saber de antemano cuando esta se va a detener. Es posible que la máquina tome mucho tiempo en resolver el problema, ó que esté en loop y nunca lo resuelva. Por lo tanto, al no estar seguros cuando una máquina se va a detener (halt) no podemos saber de antemano qué problemas tienen solución.

Los trabajos seminales de Gödel y Turing aniquilaron el sueño de Leibniz y Hilbert. La posibilidad de una máquina racional que resuelva todos los problemas pensables ha sido cerrada.

Immerman, Neil, “Computability and Complexity”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)

Zach, Richard, “Hilbert’s Program”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.)

Texto de Audio: Disertación Radial de David Hilbert

Königsberg, Septiembre 8 de 1930

La matemática es el instrumento que sirve como mediador entre la teoría y la práctica, entre el pensamiento y la observación. Ella construye los puentes que los enlazan y los consolidan constantemente. De ahí que toda nuestra cultura contemporánea, en la medida de sus capacidades para la comprensión y explotación de la naturaleza, tiene sus fundamentos en la matemática.

Ya Galileo dijo: “Para entender la naturaleza, debemos aprender el lenguaje y los símbolos por medio de los cuales la naturaleza nos habla”. Este lenguaje es la matemática y los símbolos son los números. Kant se pronunció así: “Yo afirmo que, en toda la ciencia en particular, uno puede encontrar contenido propiamente científico solo en la proporción de la matemática que ella contiene”. Verdaderamente, no dominamos una teoría científica hasta que develamos y desnudamos completamente su parte matemática esencial. Sin matemática, la astronomía y la física de hoy serían imposibles; sus fundamentos teóricos se confunden completamente con la matemática. Es a estas ciencias, a sus numerosas aplicaciones, a las que la matemática debe su renombre y las responsables por la estima de que disfruta en el público en general.

Sin embargo, todos los matemáticos han rehusado el aceptar las aplicaciones como una medida de valor de las matemáticas. Gauss habla de la atracción mágica que tiene la teoría de números, la consentida de las disciplinas en la matemática, para no mencionar su gran riqueza, que sobrepasa a cualquier otra rama de las matemáticas. Kronecker compara los estudiosos de la teoría de números a los devoradores de lotos, quienes, habiendo saboreado su delicia, nunca pueden parar. Para Tolstoi, quién había declarado que la búsqueda de “la ciencia por la ciencia” es una “tontería”, el gran metemático H. Poincaré replicó con su usual agudeza, que nada más el triunfo de la industria, por ejemplo, no habría visto luz del día, si solamente los hombres prácticos hubieran existido, y no los “tontos” desinteresados que son los que dieron origen a sus conquistas.

La gloria de la inteligencia humana, dicho así por Jacobi, el famoso matemático de Königsberg, es uno de los propósitos de toda ciencia. No debemos creerle a aquellos que profesan el declinamiento de la cultura científica, adoptando un tono filosófico con aire de superioridad y que orgullosamente se complacen con el concepto de la “ignorancia”. Para nosotros los matemáticos, no existe esa “ignorancia”, y a mi parecer, no existe tampoco en las ciencia naturales. En lugar de esa tonta “ignorancia”, que sea por el contrario nuestro lema:

Debemos saber. — Podemos Saber!

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